1. 域

域是一种定义了域中元素两种数学运算的代数系统，域由全体元素的加法集合以及非零元素的乘法集合构成。

性质：在加法和乘法上具有封闭性。
对域中元素进行加法或乘法运算后的结果仍然是域中元素。

PS: 域里面的乘法和加法可以是C语言中的与运算（module-2加法）和异或运算分别定义成加法和乘法。但习惯上，仍然使用符号+ 和 * 表示加法和乘法运算。

2. 域中单位元和逆元

加法和乘法运算都有对应的单位元(这两个单位元一般不同，但都用符号e表示)：对于加法单位元，所有元素加上单位元e，等于其本身；对应乘法单位元，所有元素乘上单位e，等于其本身。

如果元素a在域中找不到另外一个元素b，使得a+b=e(a*b=e)，那么a就没有加法(乘法)逆元。
PS: 0元素没有对应的乘法逆元

3. 有限域GF $(p)$

考虑这样一组整组构成的域 $G = \{0, 1,2,3,….. p-1\}$ 。其中p为素数，定义两种数学运算分别为 modulo-p加法和 module-p乘法。以p=7为例，加法和乘法分别为：

加	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6	0
2	2	3	4	5	6	0	1
3	3	4	5	6	0	1	2
4	4	5	6	0	1	2	3
5	5	6	0	1	2	3	4
6	6	0	1	2	3	4	5

乘	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	1	3	5
3	3	6	2	5	1	4
4	4	1	5	2	6	3
5	5	3	1	6	4	2
6	6	5	4	3	2	1

为满足乘法的封闭性，显然p只能为素数。集合中元素个数为p。

性质（定理一）: 如果 $α\alpha$ 是有限域GF $(p)$ 中的非零元素，那么有 $αp−1=1\alpha^{p-1}=1$

证明：设 $b1,b2,…,bq−1b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{q-1}$ 为GF $(p)$ 中的p-1个非零元素，由于a也是非零元素，那么 $\cdot b_{1}, a \cdot b_{2}, \ldots, a \cdot b_{p-1}$ 也是非零元素。
1)由p-1个元素的互异性得：
$(a⋅b1)⋅(a⋅b2)⋯⋯(a⋅bq−1)=b1⋅b2⋯⋯bq−1\left(a \cdot b_{1}\right) \cdot\left(a \cdot b_{2}\right) \cdots \cdots\left(a \cdot b_{q-1}\right)=b_{1} \cdot b_{2} \cdots \cdots b_{q-1}$
2)由乘法交换律得：
$aq−1(b1⋅b2⋯bq−1)=b1⋅b2⋯⋯bq−1a^{q-1}\left(b_{1} \cdot b_{2} \cdots b_{q-1}\right)=b_{1} \cdot b_{2} \cdots \cdots b_{q-1}$

4. 有限域GF $2^p)$

将多项式的系数限定于有限域GF $(p)$ 中的元素，并且基于有限域中的运算规则重新定义多项式的加减乘除操作，那么这样的多项式集合称为 基于有限域的多项式。
将GF $(p)$ 扩展成GF $2^p)$ ，p不再仅限于素数，但仍然满足有限域的加法和乘法规则的思想：将有限域中的数值元素用多项式元素映射，即有限域GF $2^p)$ 中的元素是包含0、1在内的 $2^p)$ 个多项式。

以GF $2^3)$ 为例，指数小于 3 的多项式共 8 个： $0 ， 1 ， x ， x+1 ， x^2 ， x^2+1 ， x^2+x ， x^2+x+1$ 。其系数刚好就是 $000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111$ ，是0 到7这8个数的二进制形式。多项式对应一个值，称这个值为多项式值。

4.1 有限域GF $2^p)$ 的生成

生成元是域上的一类特殊元素，生成元的幂可以遍历域上的所有元素。假设g是域GF $2^p)$ 上生成元，那么集合 ${g^0 ，g^1 ， ……，g^{(2^p-1)} \}$ 包含了域GF(2^p)上所有非零元素。

所以生成步骤为：

查表或手动计算得到p对应的本原多项式
本原多项式求幂得到 $2^p-2$ 个多项式
添加0、1形成域

4.2 GF $2^p)$ 中的计算

加法和减法：

加法即异或运算
减法即加法

乘法和除法：

伽罗华域上的多项式乘法，其结果需要mod P(x)

实际实现中利用查表法解决，将二进制形式和多项式形式相互映射。每一个二进制数值对应的是本原多项式的多少次幂。

5.【GF域的具现化】

本原多项式 $p(x)=x^{3}+x+1$ ,
(1) 计算其本原根 $α\alpha$ 的复数值

即本原多项式中 $α=0.3412+1.1615i\alpha = 0.3412+1.1615i$
(2) 计算GF $(23)\left(2^{3}\right)$ 内各个元素的复数值

GF $(23)\left(2^{3}\right)$ 的多项式共 8 个： 0，1，x，x+1，x2，x2+1，x2+x，x2+x+10 ， 1 ， x ， x+1 ， x^2 ， x^2+1 ， x^2+x ， x^2+x+1 。
其系数是 000,001,010,011,100,101,110,111000,001,010,011,100,101,110,111 ，是 0到 7的二进制形式。

下表给出了从本原根数值映射到多项式的过程

本原根	复数值	映射为多项式	多项式mod2
0	0
$α^0$	1	$α^0$	$α^0$
$α^1$	$α=0.3412+1.1615i\alpha = 0.3412+1.1615i$	$α^1$	$α^1$
$α^2$	-1.2328 + 0.7926i	$α^2$	$α^2$
$α^3$	-1.3412 – 1.1615i	-α-1	α+1
$α^4$	0.8916 – 1.9541i	$α^2-α$	$α^2+α$
$α^5$	2.5739 + 0.3690i	$α^2-α+1$	$α^2+α+1$
$α^6$	0.4495 + 3.1156i	$α^2+2*α+1$	$α^2+1$
$α^7$	-3.4656 + 1.5851i	$2*α^2-1$	1